1、【题目】已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，求n的最小正数值。

答案：

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1、【题目】证明对于任意整数n，数n/3+n²/2+n³/6是整数

答案：

n/3+n²/2+n³/6是整数

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1、【题目】证明形如 4n-1的整数不能写成两个平方数的和

答案：

证明 设 n是正数 , 并且 n≡-1(mod 4)

如果n=x²+ y ²

则因为对于模 4, x, y 只与 0,1,2,-1 等同余

所以x ², y² 只能与 0,1 同余

所以x²+y²≡0,1,2(mod 4)

而这与 n≡-1(mod 4) 的假设不符

即定理的结论成立

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1、【题目】证明：方程x2-y2=2002无整数解。

答案：

证明：假设存在整数x,y 使得x2-y2=2002,则（x-y ）(x+y)=2002=2 x 7 x 143;

由右边等式可知x-y和x+y 必为一奇一偶；

不妨设x+y为奇数，则x,y中必有一奇一偶，而x-y不等于偶数，则矛盾。

若x-y=偶数，则x,y必有双奇双偶；而x+y不等于奇数，则与条件矛盾。

由上述可知，不存在整数x,y 使x2-y2=2002

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1、【题目】证明形如4n-1的整数不能写成两个平方数的和

答案：

证明 设 n是正数 , 并且 n≡-1(mod 4)

如果n=x²+ y ²

则因为对于模 4, x, y 只与 0,1,2,-1 等同余

所以x ², y² 只能与 0,1 同余

所以x²+y²≡0,1,2(mod 4)

而这与 n≡-1(mod 4) 的假设不符

即定理的结论成立

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1、【题目】解同余式12x＋15≡0(mod 45)

答案：

因为(12,45)=3|5, 所以同余式有解 , 而且解的个数为3

又同余式等价于 4x＋5≡0(mod 15), 即 4x＋5 =15 y

我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是 (10,3)

即定理 4.1 中的 x0=10

因此同余式的 3 个解为

x≡10(mod 45)

x≡ 10＋15(mod 45) ≡25(mod 45)

x≡10+30(mod 45) ≡40(mod 45)

解析：

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