问题标题：
几何分布的方差公式如何推导?今天无聊想推导下几何分布的方差公式,但是推到一半思路被打劫了,我暂无灵感；然后我上网查,但是多是利用导数求导,可导数在后面一章咧,没学.请高手以最简
问题描述：
几何分布的方差公式如何推导?
今天无聊想推导下几何分布的方差公式,但是推到一半思路被打劫了,我暂无灵感；然后我上网查,但是多是利用导数求导,可导数在后面一章咧,没学.请高手以最简便方法推导,最好能避开公式：D(X)=E(X^2)-[E(X)^2]进行推导.虽然这个公式我也会证明,但是我想看看有没有能用目前已学知识推导出方差公式,还是真的就要用到导数来推?最好是特级数学教师指点下,谢谢你们!
粟少华回答：
证明：Eξ=p+2qp+3q?p+…+k[q^(k-1)]p+…=p(1+2q+3q?+…)设S=1+2q+3q?+…+nq^(n-1),则由qS=q+2q?+…+(n-1)q^(n-1)+nq^n两式相减,得(1-q)S=1+q+q?+…+q^(n-1)-nq^n故S=(1-q^n)/(1-q)?-nq^n/(1-q),则S=limS=1/(1-q)?=1/p?,即Eξ=1/pE(ξ?)=p+2?qp+3?p+…+k?[q^(k-1)]p+…=p[1+2?q+3?+…+k?q^(k-1)+…]对于上式括号中的求和,利用导数对q求导,即q^(k-1)=(kq^k)`,有1+2?q+3?+…+k?q^(k-1)+…=(q+2q?+3q?+…+kq^k+…)`(与求Eξ同样方法,得到)=[q/(1-q)?]`=[(1-q)?-2q(1-q)(-1)]/(1-q)^4=(1+q)/(1-q)?=(2-p)/p?因此E(ξ?)=p[(2-p)/p?]=(2-p)/p?则Dξ=E(ξ?)-(Eξ)?=(2-p)/p?-(1/p)?=(1-p)/p?
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