问题标题：
【变上限积分求导?x∫(0到x)f(x-t)dt求导把x-t换成u我求的是xf(u)+∫(0到x)f(u)du请问xf(u)是不是可以直接换成xf(x)如果是请问这是什么换元法】
问题描述：
变上限积分求导?
x∫(0到x)f(x-t)dt求导把x-t换成u我求的是xf(u)+∫(0到x)f(u)du请问xf(u)是不是可以直接换成xf(x)如果是请问这是什么换元法
狄黎平回答：
令x-t=u,
则dt=-du,
故∫(0到x)f(x-t)dt=-∫(x到0)f(u)du=∫(0到x)f(u)du,
于是
x∫(0到x)f(x-t)dt=x∫(0到x)f(u)du,
所以
d[x∫(0到x)f(x-t)dt]/dx
=d[x∫(0到x)f(u)du]/dx
=x*d[∫(0到x)f(u)du]/dx+dx/dx*∫(0到x)f(u)du
注意在这里,变上限积分函数∫(0到x)f(u)du对x求导的话,
求得的导数就是f(x)而不是f(u),
因此,
d[x∫(0到x)f(x-t)dt]/dx
=x*d[∫(0到x)f(u)du]/dx+dx/dx*∫(0到x)f(u)du
=x*f(x)+∫(0到x)f(u)du
不是xf(u)可不可以直接换成xf(x)的问题,
而是对其求导得到的就是xf(x)
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