这个证明方法很多 　　先证明两个小结论吧. 　　（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=1 　　（x²+y²+z²)(y²+z²+x²）≥（xy+yz+zx）²【柯西不等式】 　　得x²+y²+z²≥xy+yz+zx 　　于是1=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx≥xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx=3(xy+yz+zx) 　　得xy+yz+zx≤1/3【当x=y=z=1/3时等号成立】 　　[x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y)][x(y+2z)+y(z+2x)+z(x+2y)]≥（x+y+z）²=1【柯西不等式】 　　于是x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y)≥1/[x(y+2z)+y(z+2x)+z(x+2y)]=1/3(xy+yz+zx) 　　xy+yz+zx≤1/3,得1/3(xy+yz+zx)≥1 　　于是x/(y+2z)+y/(z+2x)+z/(x+2y)≥1