问题标题：
【已知定义在（0,∞）上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)f(y),x,y∈(0,∞）.(1)对于任意的x,y∈(0,++∞）,证明：f﹝x/y﹞=f(x)-f(y)；（2）对于任意的x∈(0,+∞）,m,n∈N﹡,证明：f﹝X^n/m﹞=n/mf(x).】
问题描述：
已知定义在（0,∞）上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)f(y),x,y∈(0,∞）.(1)对于任意的x,y∈(0,+
+∞）,证明：f﹝x/y﹞=f(x)-f(y)；（2）对于任意的x∈(0,+∞）,m,n∈N﹡,证明：f﹝X^n/m﹞=n/mf(x).
陆宇平回答：
（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x,y∈R）,①
令x=y=0,代入①式,得f（0+0）=f（0）+f（0）,即f（0）=0．
令y=﹣x,代入①式,得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）,
又f（0）=0,则有0=f（x）+f（﹣x）．
即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立,
所以f（x）是奇函数．
f（3）=log23＞0,即f（3）＞f（0）,
又f（x）在R上是单调函数,所以f（x）在R上是增函数,
又由（1）f（x）是奇函数．
f（k·3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2）,
k·3x＜﹣3x+9x+2,
令t=3x＞0,分离系数得：,
问题等价于,
对任意t＞0恒成立．
∵,
∴．
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