证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 　　（1）若f(z)恒为0,则结论显然成立. 　　（2）若f(z)不恒为0 　　由f(z)解析得：∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂xC-R条件 　　|f(z)|=u^2+v^2为非零常数,因此该函数对x和y的偏导数均为0,得： 　　2u∂u/∂x+2v∂v/∂x=0,即u∂u/∂x+v∂v/∂x=0(1) 　　2u∂u/∂y+2v∂v/∂y=0,即u∂u/∂y+v∂v/∂y=0(2) 　　将C-R条件代入(2)两式得： 　　-u∂v/∂x+v∂u/∂x=0(3) 　　联立(1)(3)两式,将∂u/∂x,∂v/∂x看作未知数,u,v看作系数,该方程组的系数行列式为 　　uv 　　v-u 　　=-u^2-v^2≠0 　　因为系数行列式非0,因此方程组只有零解,得：∂u/∂x=0,∂v/∂x=0 　　再联合C-R条件知,∂u/∂y=0,∂v/∂y=0 　　因此,u,v与x,y均无关,则u,v均为常数,所以f(z)=u(x,y)+iv(x,y)为常数.