函数知识与代数、几何等其它知识联系密切,一些综合题 　　要涉及到代数中的方程,不等式等内容以及几何中有关图形的知 　　识,解决这类问题是本单元的重点和难点,也是近年来各省市 　　中考试题中考查的重点. 　　解决综合问题,首先要有全面、扎实的知识基础,另外要 　　掌握分析问题的方法,认真审题,运用数学思想方法,深入发 　　掘已知与未知及所涉及知识点之间的内在联系.尤其要认真观 　　察图形,探索图形中蕴含的数量关系,实现知识间的相互转化, 　　化繁为简,化难为易. 　　例1.已知：如图(1),矩形EFGH内接于△ABC,两个顶点E、 　　F在BC边上,顶点H、G分别在AB、AC边上. 　　(1)设底边BC=12厘米,高为h厘米,GF为x厘米,GH为y厘米, 　　求y关于x的函数关系式； 　　(2)在(1)的条件下,当高h=8厘米时,要使矩形EFGH的GH边 　　大于4厘米,求GH的取值范围； 　　(3)在(1)、(2)的条件下,要使矩形EFGH的面积为18厘米2, 　　此时矩形EFGH的长和宽各是多少? 　　分析：自变量x表示GF的长,高h要看成是常量.列函数关 　　系式时,可用相似三角形性质解决. 　　(1)作AD⊥BC,D为垂足,与HG交于M. 　　∵GH‖BC, 　　∴△AHG∽△ABC, 　　∴. 　　∵AM=AD-MD=h-GF=h-x,BC=12, 　　AD=h,HG=y, 　　∴y= 　　即y=-x+12(0＜x＜h)； 　　(2)当h=8厘米时,要使y=-x+12＞4, 　　解得x＜, 　　∴GF的取值范围是0＜GF＜(厘米)； 　　(3)S矩形EFGH=GH*GF=x(12-x). 　　当S=18厘米2时,有 　　x(12-x)=18. 　　解得x1=2,x2=6. 　　此时y1=9,y2=3. 　　∴当矩形EFGH的面积为18厘米时,长为9厘米,宽为2厘米 　　或长为6厘米,宽为3厘米. 　　例2.在直角坐标系中,一次函数y=x+的图象与x轴、y 　　轴分别交于A和B两点,点C的坐标为(1,0),点D在x轴上,且 　　∠BCD和∠ABD是两个相等的钝角,求图象经过B、D两点的一次 　　函数的解析式. 　　分析：本题的关键是要求得B、D两点的坐标,因为B、D都是 　　坐标轴上的点,故只需求得OB和OD两线段的长,这就需要结合 　　图形利用勾股定理和相似三角形等几何知识来解决.首先在坐 　　标系中找出A、B、C的位置,然后根据∠BCD与∠ABD是两个相 　　等的钝角,找到点P的大致位置,即要求CD的长,由已知可推 　　出△BCD∽△ABD,故有BD2=CD*(4+CD),又因为BD2=BO2+OD2, 　　而BO和OC已知,就可求出CD的长. 　　如图(2),由已知得点A(-3,0), 　　点B(0,),点C(1,0). 　　∴AC=4. 　　在△BCD和△ABD中, 　　∵∠BCD=∠ABD, 　　∠BDC为公共角, 　　∴△BCD∽△ABD, 　　∴. 　　∴BD2=CD*AD. 　　在Rt△BOD中,BD2=OB2+OD2. 　　∴OB2+OD2=CD*AD. 　　即()2+(1+CD)2=CD(4+CD). 　　解得CD=. 　　∴点D的坐标为(,0). 　　又∵点B坐标为(0,),设经过B、D两点的一次函数的解析 　　式为y=kx+b, 　　∴ 　　解得k=-. 　　∴经过B、D两点的一次函数的解析式为y=-x+. 　　说明：准确画图对于题意的理解.思路的探求,方法的选 　　择.结论的判定都有重要作用,同时也体现了一定的教学能力. 　　例3.正比例函数y=kx与直线y=-x-相交于点P(m,n), 　　且关于x的方程x2+mx+n=0的两根为直角三角形两锐角的余弦值, 　　求此正比例函数的解析式. 　　分析：求出m,n的值,确定点P的坐标的是本题的关键. 　　这可以从①m,n作为P点坐标,要满足y=-x-；②m,n应 　　满足方程根与系数的关系,这两个方面入手解决. 　　设直角三角形分别为A,B, 　　根据题意,有 　　∵cosB=sinA, 　　∴sinA+cosA=-m,①sinA*cosA=n.② 　　①2,得 　　sin2A+2sinAcosA+cos2A=m2, 　　∴1+2n=m2,③ 　　∵点P(m,n)在直线y=-x-上, 　　∴-m-=n④ 　　把④代入③,整理得 　　m2+m-=0 　　解得 　　∵cosA+cosB＞0, 　　∴m＜0,故m2,n2不合题意,应舍去. 　　把m1,n1代入y=kx,得 　　=k*, 　　解得k=. 　　∴所求正比例函数的解析式为y=x. 　　注意：在求m,n的值时,应注意题中的隐含条件,由A、B都 　　是锐角,故cosA+cosB＞0,从而决定m＜0,所以本题只有一解. 　　练习： 　　1.已知一次函数的图象交x轴于A(-6,0),交正比例函数 　　图象于B,且点B在第二象限,它的横坐标为-4,△AOB的面积 　　为15(平方单位),求正比例函数和一次函数的解析式. 　　2.正比例函数与一次函数的图象 　　如图(3),其中交点坐标为A(4,3), 　　B为一次函数与y轴交点,且｜OA｜=2｜OB｜. 　　(1)求正比例函数与一次函数解析式； 　　(2)求△AOB的面积. 　　参考答案：