问题标题：
已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点，（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C
问题描述：
| 已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点， （Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程； （Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。 |
梅竹回答：
由条件知，设，（Ⅰ）设M（x，y），则，，由得，于是AB的中点坐标为；当AB不与x轴垂直时，，因为A、B两点在双曲线上，所以，两式相减得，将，代入上式，化简得；当AB与x轴垂直时，，求得M(8，0)，也满足上述方程；故点M的轨迹方程是；（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使为常数。当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是，代入，则x1、x2是上述方程的两个实根，所以，于是，因为是与k无关的常数，所以4-4m=0即m=1，此时；当AB与x轴垂直时，点A、B的坐标可别设为，此时；故在x轴上存在定点C（1，0），使为常数。
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