1到1000中所有不能被2、3、5整除的自然数有多少个?算式怎么列? 　　以下用[]表示取整数部分,即高斯取整函数. 　　计算过程是将下面{}内的各行的计算项取代数和. 　　{ 　　1000, 　　-[1000/2]-[1000/3]-[1000/5]=-500-333-200=-1033 　　+[[1000/2]/3]+[[1000/2]/5]+[[1000/3]/5]=[500/3]+[500/5]+[333/5]=166+100+66=332 　　-[[[1000/2]/3]/5]=-[166/5]=-33 　　} 　　=1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33 　　=-33+332-33=266 　　原理:容斥原理(又称作包含排除原理或逐步淘汰原则,可参考百度百科-容斥原理) 　　推广: 　　1到X中所有不能被2,3,5,...,p(i),...,p(n)整除的自然数的个数 　　=sum{ 　　+X, 　　-{[X/2]+[X/3]+...+...+[X/p(n)]} 　　+{ 　　+[X/2/3]+[X/2/5+.+[X/2/p(n)] 　　+[x/3/5]+...+[x/2/p(n)] 　　+...+... 　　++[X/p(n-1)/p(n)] 　　} 　　-... 　　+... 　　+(-1)^n*[X/2/3/.../p(n)] 　　} 　　注#1:这里的[]表示取整数部分,即高斯取整函数. 　　注#2:计算时可以使用[X/(2*3)]=[[X/2]/3]=[[X/3]/2] 　　注#3:在数论中,欧拉函数有类似的形式与性质 　　注#4:代数和的正负号=(-1)^数的奇次方质因子的个数(或者说,去除平方因数之后的剩下质因子的个数为奇则取负,为偶数包括0则取正).这在数论中称作mobius函数(莫比乌斯),参考百度百科-数论函数-积性函数.