问题标题：
【A是mxn矩阵,则存在矩阵B,使得AB=0且有r(A)+r(B)=n如何证明该命题呢?】
问题描述：
A是mxn矩阵,则存在矩阵B,使得AB=0且有r(A)+r(B)=n
如何证明该命题呢?
胡亚男回答：
设r(A)=a,则可分解A=Pdiag(T,O1)Q,其中T为aXa的对角阵
P,Q分别为m阶和n阶可逆方阵,O1为(m-a)X(n-a)的零矩阵
令B=Q^(-1)diag(O2,S),其中O2为aX(m-n+a)的零矩阵
S为(n-a)X(n-a)的对角阵,则r(B)=r(S)=n-a
∴AB=Pdiag(T,O1)QQ^(-1)diag(O2,S)=Pdiag(T,O1)diag(O2,S)=P0=0
且r(A)+r(B)=a+n-a=n
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