问题标题：
【已知C轨迹:y^2=4X,F为焦点,过F做两条斜率存在且互相垂直的直线L1,L2.已知C轨迹:y^2=4X,F为焦点,过F做两条斜率存在且互相垂直的直线L1,L2,L1与C相交于点A,B.L2与C相交于D,E,求|FA|*|FB|+|FD|*|FE|最小值】
问题描述：
已知C轨迹:y^2=4X,F为焦点,过F做两条斜率存在且互相垂直的直线L1,L2.
已知C轨迹:y^2=4X,F为焦点,过F做两条斜率存在且互相垂直的直线L1,L2,L1与C相交于点A,B.L2与C相交于D,E,求|FA|*|FB|+|FD|*|FE|最小值
车伟伟回答：
设A,B,C,D坐标分别为（x1,y1）（x2,y2）（x3,y3）（x4,y4）
则|FA|*|FB|+|FD|*|FE|=AF*FB+FD*EF=-x1x2+(1-y1)(y2-1)-x3x4+(y3-1)(1-y4)
设直线L1：y-1=kx,直线L2：y-1=-x/k
联立方程,消去Y,用韦达定理,得：x1x2=x3x4=-4
∴AF*FB+FD*EF=8+(1-y1)(y2-1)+(y3-1)(1-y4)=6-y1y2-y3y4+(y1+y2+y3+y4)
再次联立,消去x,用韦达定理,得：y1y2=y3y4=1,y1+y2=2+4k^2,y3+y4=2+4/k^2
代入,得：|FA|*|FB|+|FD|*|FE|=4+(4+4k^2+4/k^2）,用基本不等式,得：原式≥4+4+8=16
|FA|*|FB|+|FD|*|FE|最小值为16
不好意思,xy看反了,以下为修正版
设A,B,C,D坐标分别为（x1,y1）（x2,y2）（x3,y3）（x4,y4）
则|FA|*|FB|+|FD|*|FE|=AF*FB+FD*EF=-y1y2+(1-x1)(x2-1)-y3y4+(x3-1)(1-x4)
设直线L1：x-1=ky,直线L2：x-1=-y/k
联立方程,消去x,用韦达定理,得：y1y2=y3y4=-4
∴AF*FB+FD*EF=8+(1-x1)(x2-1)+(x3-1)(1-x4)=6-x1x2-x3x4+(x1+x2+x3+x4)
再次联立,消去y,用韦达定理,得：x1x2=x3x4=1,x1+x2=2+4k^2,x3+x4=2+4/k^2
代入,得：|FA|*|FB|+|FD|*|FE|=4+(4+4k^2+4/k^2）,用基本不等式,得：原式≥4+4+8=16
|FA|*|FB|+|FD|*|FE|最小值为16
潘渊颖回答：
|FA|*|FB|+|FD|*|FE|=AF*FB+FD*EF这一步不明白，不用考虑，cos吗?
车伟伟回答：
共线，cos180=-1
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