问题标题：
∑为上半球面z=√(4-x^2-y^2)的上侧,则对坐标的曲面积分∫∫x^2dxdy,关于这题本人算到额答案是4π,如果不是4π,那是多少,
问题描述：
∑为上半球面z=√(4-x^2-y^2)的上侧,则对坐标的曲面积分∫∫x^2dxdy,关于这题本人算到额答案是4π,
如果不是4π,那是多少,
冯玉翔回答：
被平面Σ1：z=0,x²+y²≤4,下侧
则Σ与Σ1构成封闭曲面,用高斯公式
∫∫(Σ+Σ1)xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=∫∫∫(y+0+0)dxdydz
被积函数只剩下y,由于区域关于xoz面对称,y是奇函数,所以结果为0
综上,上面积分为0.
下面将补的Σ1减出去即可：
∫∫(Σ1)xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=-∫∫y²dxdy
用极坐标
=-∫∫r³sin²θdrdθ
=-∫[0→2π]sin²θdθ∫[0→2]r³dr
=-(1/2)∫[0→2π](1-cos2θ)dθ∫[0→2]r³dr
=-π(1/4)r^4|[0→2]
=-4π
因此原积分=0-(-4π)=4π
希望有帮助!呵呵!
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