用反证法,假设Y∪A不连通,则存在Y∪A的非空开子集F,G,满足F∪G=Y∪A,F∩G=Ø. 　　考虑M=F∩Y与N=G∩Y,则M,N为Y的开子集,并满足M∪N=Y,M∩N=Ø. 　　而Y连通,故M或N为空集,不妨设N为空集,即G∩Y=Ø,也即G⊆A. 　　G是Y∪A中的开集,故存在X中的开集U,使G=U∩(Y∪A). 　　又A是X-Y中的开集,故存在X中的开集V,使A=V∩(X-Y). 　　而X-Y是A与B的无交并,因此X是A,B,Y的无交并. 　　再由G⊆A易得G=U∩V,于是G为X中开集. 　　另一方面,G=Y∪A-F为Y∪A中的闭集,故存在X中的闭集S,使G=S∩(Y∪A). 　　又A=(X-Y)-B为X-Y中的闭集,故存在X中的闭集T,使A=T∩(X-Y). 　　由X是A,B,Y的无交并与G⊆A,可得G=S∩T,于是G也为X中闭集. 　　G是X的既开又闭的非空子集,由X连通,有G=X,于是F=Ø,矛盾. 　　因此Y∪A连通.