由正弦式交变电流的对称性,即只需计算半周期的热效应.将正弦式交变电流的半周期分成n份(n→∞),每份Δt=T/(2n) 　　I=f(t)=Im*sin(2π/T)*Δt 　　则, 　　I1=f(t1)=f(Δt)=Im*sin(π/n) 　　I2=f(t2)=f(2Δt)=Im*sin(2π/n) 　　…… 　　In=f(tn)=f(nΔt)=Im*sin(nπ/n) 　　所以, 　　W(T/2)=I1²*R*Δt+I2²*R*Δt+……+In²*R*Δt 　　=Im²*R*(T/2n)*(sin²(π/n)+sin²(2π/n)+……+sin²(nπ/n)) 　　=Im²*R*(T/4)=I²*R*(T/2) 　　I=(√2/2)*Im 　　补充证明：(sin²(π/n)+sin²(2π/n)+……+sin²(nπ/n))=n/2 　　sin²(π/n)=cos²(π/2-π/n) 　　sin²(2π/n)=cos²(π/2-2π/n) 　　…… 　　sin²(π/2-π/n)=cos²(π/n) 　　sin²(π/2)=cos²(π) 　　sin²(π/2+π/n)=cos²(π/2+π/n) 　　…… 　　sin²(π-π/n)=cos²(π/2+π/n) 　　sin²(π)=cos²(π/2) 　　(sin²(π/n)+sin²(2π/n)+……+sin²(nπ/n))+(cos²(π/n)+cos²(2π/n)+……+cos²(nπ/n))=n 　　(sin²(π/n)+sin²(2π/n)+……+sin²(nπ/n))=n/2