问题标题：
【设α，β是3维列向量，满足|α|=|β|=1，（α，β）=0．令A=αβT+βaT，证明：（1）|A|=0；（2）α+β，α-β分别为A的特征向量；（3）A～Λ，其中Λ=1000−10000．】
问题描述：
设α，β是3维列向量，满足|α|=|β|=1，（α，β）=0．令A=αβT+βaT，证明：
（1）|A|=0；
（2）α+β，α-β分别为A的特征向量；
（3）A～Λ，其中Λ=
．
官志坚回答：
证明：
（1）R（A）=R（αβT+βαT）
≤R（αβT）+R（βαT）
≤2R（α）=2，
又因为α≠0，
所以A为降秩阵，
从而|A|=0；
（2）因为A（α+β）=（αβT+βαT）（α+β）=α+β，
A（α-β）=（αβT+βαT）（α-β）=-（α-β），
所以α+β，α-β皆为A的特征向量，
它们对应的特征值分别为1，-1．
（3）因为|A|=0，
所以0是A的特征值，
故A有三个不同的特征值0，1，-1，
而A～∧，
其中Λ=diag（1，-1，0），
所以得证．
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