问题标题：
2f(x^2)+f(1/x^2)=f(x),求f(x)
问题描述：
2f(x^2)+f(1/x^2)=f(x),求f(x)
李良应回答：
条件不足,不能确定f(x)(而且自由度很大).
由2f(x²)+f(1/x²)=f(x),有2f(1/x²)+f(x²)=f(1/x).
相加得3(f(x²)+f(1/x²))=f(x)+f(1/x).
相减得f(x²)-f(1/x²)=f(x)-f(1/x).
设g(x)=f(e^x)+f(1/e^x),则易见g(-x)=g(x)(即g是一个偶函数),
且3g(2x)=3(f(e^(2x))+f(1/e^(2x)))=f(e^x)+f(1/e^x)=g(x).
再设h(x)=f(e^x)-f(1/e^x),则易见h(-x)=-h(x)(即h是一个奇函数),
且h(2x)=f(e^(2x))-f(1/e^(2x))=f(e^x)-f(1/e^x)=h(x).
下面说明,任意选定满足3g(2x)=g(x)的偶函数g,以及满足h(2x)=h(x)的奇函数h,
取f(x)=g(ln(|x|))+h(ln(|x|)),则f(x)满足要求.
f(x²)=g(ln(x²))+h(ln(x²))=g(2ln(|x|))+h(2ln(|x|))=1/3·g(ln(|x|))+h(ln(|x|)),
f(1/x²)=g(-ln(x²))+h(-ln(x²))=g(2ln(|x|))-h(2ln(|x|))=1/3·g(ln(|x|))-h(ln(|x|)),
故2f(x²)+f(1/x²)=g(ln(|x|))+h(ln(|x|))=f(x),对任意x≠0成立.
然而满足上述条件的g,h是非常多的.
因为在a处的取值只能决定在±a·2^k处(k为任意整数)的取值.
只要b不在这些数当中,在b处的取值就可以完全独立于a处的取值来选定.
此后被决定的只有±a·2^k,±b·2^k处的取值,其余的函数值仍可以随意选定.
虽然这种逐次选择的做法不太严格,但应该可以充分体现g,h自由度很大这个事实.
随便举一族例子:g(x)=|x|^(ln(3)/ln(2))·p(ln(|x|)),其中p为任意以ln(2)为周期的周期函数.
陆绍飞回答：
后面看不懂了，但是还要谢谢你的详细解答
陆绍飞回答：
不好意思，题目我记错了，等号右边是x，已经解出来了，就用你的方法，谢谢！
李良应回答：
不用谢.确实,如果是2f(x²)+f(1/x²)=x就能解了.另外,条件应该有x>0的限制吧,定义域可别忽视.
陆绍飞回答：
对，结果有根号X，您说得太对了
点击显示
数学推荐
热门数学推荐