康托尔定理指的是在Zermelo-Fr?nkel集合论中,声称任何集合A的幂集(所有子集的集合)的势严格大于A的势.康托尔定理对于有限集合是明显的,但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立.特别是,可数无限集合的幂集是不可数无限的.要展示康托尔定理的对于无限集合的有效性,只需要测试一下下面证明中无限集合.证明设f是从A到A的幂集的任何函数.必须证明这个f必定不是满射的.要如此,展示一个A的子集不在f的像中就足够了.这个子集是要证明B不在f的像中,假设B在f的像中.那么对于某个y∈A,我们有f(y)=B.现在考虑y∈B还是yB.如果y∈B,则y∈f(y),但是通过B的定义,这蕴涵了yB.在另一方面,如果yB,则yf(y)并因此y∈B.任何方式下都是矛盾.因为x在表达式"xf(x)"中重复出现,这是对角论证法.