字典翻译 问答 小学 数学 设数列an的首项a1=5/6.二次方程an-1x^2-anx+1=0有两个实根α、β满足3α-αβ+3β=1(1)求证{an-1/2}是等(1)求证{an-1/2}是等比数列(2)求an(3)求an的前n项和sn
问题标题:
设数列an的首项a1=5/6.二次方程an-1x^2-anx+1=0有两个实根α、β满足3α-αβ+3β=1(1)求证{an-1/2}是等(1)求证{an-1/2}是等比数列(2)求an(3)求an的前n项和sn
问题描述:

设数列an的首项a1=5/6.二次方程an-1x^2-anx+1=0有两个实根α、β满足3α-αβ+3β=1(1)求证{an-1/2}是等

(1)求证{an-1/2}是等比数列

(2)求an

(3)求an的前n项和sn

路艳丽回答:
  (1)由根与系数关系得:α+β=an/a(n-1),αβ=1/a(n-1),   代人3α-αβ+3β=1得3an/a(n-1)-1/a(n-1)=1   整理得3an-1=a(n-1),3(an-1/2)=a(n-1)-1/2   即(an-1/2)/[a(n-1)-1/2]=3,根据等比数列定义可得,公比q=3,首项为5/6-1/2=1/3的等比数列即证.   (2)由等比数列定义可得an=a1*q^(n-1)   所以an-1/2=1/3*3^(n-1),所以an=1/2+1/3*3^(n-1),   (3)sn=a1+a2+.+an=(1/2+1/3)+(1/2+1/3*3)+.+[1/2+1/3*3^(n-1)]   =(1/2+1/2.+1/2)+[1/3+1/3*3+1/3*3^2+.+1/3*3^(n-1)]   =n/2+1/3(1-3^n)/(1-3)=n/2-(1-3^n)/6
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