正三棱锥顶点P在底面ABC的投影D是等边三角形ABC的中心. 　　易知AD=根号3,从而PD=根号(PA^2-AD^2)=根号3. 　　棱锥体积为PD*三角形ABC面积/3=9/4. 　　延长AD交BC于E,则AE为BC的中垂线.连接PE, 　　易知AE=3*(根号3)/2,PE=(根号15)/2. 　　在PD上取一点Q,使该点到底面的距离和该点到棱面的距离相等, 　　即过Q点作面PBC的垂线QF,使QD=QF. 　　则QF必与PE相交于点F,且QF为内切圆的半径. 　　直角三角形PQF与PED相似,有PQ/QF=PE/ED.即PD/QF-1=PE/ED, 　　又ED=(根号3)/2,得内切圆半径QF=(根号3)/(1+根号5). 　　内切球的表面积4πQF^2=3π(3-根号5)/2.