曲线运动习题课 　　一、船过河模型 　　1、处理方法：小船在有一定流速的水中过河时,实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动,即在静水中的船的运动（就是船头指向的方向）,船的实际运动是合运动. 　　2、若小船要垂直于河岸过河,过河路径最短,应将船头偏向上游,如图甲所示,此时过河时间： 　　3、若使小船过河的时间最短,应使船头正对河岸行驶,如图乙所示,此时过河时间(d为河宽).因为在垂直于河岸方向上,位移是一定的,船头按这样的方向,在垂直于河岸方向上的速度最大. 　　二、绳端问题（绳子末端速度分解） 　　绳子末端运动速度的分解,按运动的实际效果进行可以方便我们的研究. 　　例如在右图中,用绳子通过定滑轮拉物体船,当以速度v匀速拉绳子时,求船的速度. 　　解析：船的运动(即绳的末端的运动)可看作两个分运动的合成： 　　a)沿绳的方向被牵引,绳长缩短,绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度.即为v； 　　b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动,它不改变绳长.这样就可以求得船的速度为,当船向左移动,α将逐渐变大,船速逐渐变大.虽然匀速拉绳子,但物体A却在做变速运动. 　　绳子末端速度的分解问题,是本章的一个难点,同学们在分解时,往往搞不清哪一个是合速度,哪一个是分速度.以至解题失败.下面结合例题讨论一下. 　　例1、如图1所示,在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸,拉绳速度大小为v1,当船头的绳索与水平面夹角为θ时,船的速度多大? 　　解析我们所研究的运动合成问题,都是同一物体同时参与的两个分运动的合成问题,而物体相对于给定参照物（一般为地面）的实际运动是合运动,实际运动的方向就是合运动的方向.本例中,船的实际运动是水平运动,它产生的实际效果可以A点为例说明：一是A点沿绳的收缩方向的运动,二是A点绕O点沿顺时针方向的转动,所以,船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2,如图1所示.由图可知：v＝v1/cosθ 　　点评不论是力的分解还是速度的分解,都要按照它的实际效果进行.本例中,若将拉绳的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度,就没有实际意义了,因为船并不存在竖直方向上的分运动 　　例2如图2所示,一辆匀速行驶的汽车将一重物提起,在此过程中,重物A的运动情况是【】 　　A.加速上升,且加速度不断增大 　　B.加速上升,且加速度不断减小 　　C.减速上升,且加速度不断减小 　　D.匀速上升 　　解析物体A的速率即为左段绳子上移的速率,而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的.右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动.将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方向和与绳子垂直方向分解,如图3所示,则沿绳方向的速率即为物体A的速率vA=v1=vsinθ.随着汽车的运动,θ增大,vA=v1增大,故A应加速上升. 　　由v-t图线的意义知,其斜率为加速度,在0°～90°范围内,随θ角的增大,曲线y=sinθ的斜率逐渐减小,所以A上升的加速度逐渐减小. 　　答案B 　　点评本题主要考查了运动的分解,解题的关键是要分清合速度与分速度.一般情况下,物体相对于给定的参考系（一般为地面）的实际运动就是合运动,本例中,汽车的实际运动就是合运动.另外,运动的分解要按照它的实际效果进行. 　　跟综练习如图4所示,汽车甲以速度v1拉汽车乙前进, 　　乙的速度为v2,甲、乙都在水平面上运动,则v1∶v2＝__________. 　　答案cosα∶1 　　小船渡河的问题补充 　　小船渡河的问题,就是讨论“船”、“水”、“岸”三者之间的相对运动的关系．其中“船相对于岸的运动”就是“船相对于水的运动”和“水相对于岸的运动”的合运动． 　　解决这类问题的基本思路： 　　第一,仔细分析与命题相关的三个考查对象之间的相对运动的关系,正确确定其中哪一个运动可以看作是另外两个相对运动的合运动． 　　第二,按照平行四边形定则,画出已经确定了的两个分运动和合运动的矢量关系图,然后分析这个平行四边形矢量关系图,根据已知条件计算待求未知量．一般说来,任何一个命题,必然给定了包括三个速度的大小和方向的六个因素中的四个,求另两个未知因素． 　　1．小船过河问题的分析与求解方法 　　（1）处理方法： 　　小船在有一定流速的河中过河时,实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船运动）,船的实际运动是合运动． 　　（2）若小船垂直于河岸渡河,则过河路径最短,应将船头偏向上游．如图甲所示,此时过河时间t＝＝ 　　若使小船过河的时间最短,应使船头正对河岸行驶,如图乙所示,此时过河时间t＝(d为河宽）． 　　〔例3〕一条宽度为L的河,水流速度为v水,已知船在静水中的速度为v船,那么： 　　（1）怎样渡河时间最短?（2）若v船>v水,怎样渡河位移最小?（3）若v船v水时,船才有可能垂直河岸渡过．（或者由三角形几何关系知道） 　　（3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度,则不论船的航向如何,总是被水冲向下游,怎样才能使漂下的距离最短呢?如图所示,设船头与河岸成θ角,合速度v与河岸成α角（取小于90°的一边）．可以看出：α角越大,船漂下的距离x越短．那么在什么条件下α角最大呢?以v水的矢尖为圆心、v船为半径画圆,当v与圆相切时,α角最大．根据cosθ＝v船/v水,船头与河岸的夹角应为θ＝arccos船漂下的最短距离：xmin＝(v水－v船cosθ)•此时渡河的最短位移：s＝＝ 　　4．小船在宽度为200m、水流速度为2m/s的河中驶向对岸,已知小船在静水中的速度为4m/s,两岸是平行的,求： 　　（1）若小船的船头始终正指对岸航行时,它将在何时何处到达对岸? 　　（2）若要使小船的船头到达正对岸,小船应如何行驶?要用多长时间? 　　（3）若小船航向跟上游河岸成30°角,它将行驶多长时间,在何处到达对岸? 　　小船渡河的运动是小船在静水中的运动和水流运动的合运动,设船对岸的速度为v,河宽为d,则v船＝4m/s,v水＝2m/s,d＝200m 　　（1）若小船的船头始终正指对岸航行,则小船渡河时间最短,由合运动和分运动具有等时性可求渡河时间t＝s＝50s． 　　这时船的实际航向是由A→C,船在出发点A的下游C点处到达对岸,如下左图所示． 　　BC＝v水•t＝2