问题标题：
一道初三中考数学压轴题定义：若一条直线与抛物线y=x²交于A、B两点(A在B的上方)，与x轴交与C点，且满足AB=BC，则称该直线BC是抛物线y=x²的平衡割线.(1)一条直线与y轴交于点D(0,2),并交x
问题描述：
一道初三中考数学压轴题
定义：若一条直线与抛物线y=x²交于A、B两点(A在B的上方)，与x轴交与C点，且满足AB=BC，则称该直线BC是抛物线y=x²的平衡割线
.(1)一条直线与y轴交于点D(0,2),并交x轴负半轴于点C，同时∠DCO=45°(O为原点)，求该直线的解析式，判断该直线是否为y=x²的平衡割线，并说明理由；
(2)若直线BC是抛物线y=x²的平衡割线，且B的坐标是(-根号2，2)，求点C的坐标
(3)点P是抛物线y=x²上的一点，过点P作两条直线，分别交x轴于点M、N，交抛物线y=x²于点L、K。问当P运动到哪个点时，以M、N、L、K为顶点的四边形是菱形(点P在该四边形内部)
李砚清回答：
（1）∵y2=4x，焦点F（1，0），准线l0：x=-1．
由定义得：|AF|=xA1，又∵|AF|=|AB|1，∴|AB|=xA同理：|CD|=xD
当l⊥x轴时，则xD=xA=1，∴|AB|×|CD|=1
当l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k2x2-（2k24）xk2=0，∴xAxD=1，∴|AB|×|CD|=1
综上所述，|AB|×|CD|=1
（2）∵|AB|，|BC|，|CD|成等差，且|AB|=xA，|BC|=2，|CD|=xD，∴xAxD=4
由（1）得：xAxD＝
2k24
k2
，∴k2＝2，∴k＝±
2
∵l：y=k（x-1），∴m＝kOA＝
yA
xA
＝k(1−
1
xA
)
同理：n＝k(1−
1
xB
)，p＝k(1−
1
xC
)，q＝k(1−
1
xD
)
∴mnpq＝k[4−(
1
xA
1
xD
)−(
1
xB
1
xC
)]＝3
2
又
1
xA
1
xD
＝
xAxD
xAxD
＝4
把y=k（x-1）代入（x-1）2y2=1得，（k21）x2-2（1k2）xk2=1，∵k2=2，∴3x2-6x2=0
∴xBxC＝2，xBxC＝
2
3
，
1
xB
1
xC
＝3，∴K＝−
2
，
所以所求直线L的方程为
2
xy−
2
＝0
点击显示
数学推荐
热门数学推荐