字典翻译 问答 其它 设[r,s]表示正整数r与s的最小公倍数,已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000.求三元正整数有序组(a,b,c)的个数.
问题标题:
设[r,s]表示正整数r与s的最小公倍数,已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000.求三元正整数有序组(a,b,c)的个数.
问题描述:

设[r,s]表示正整数r与s的最小公倍数,已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000.求三元正整数有序组(a,b,c)的个数.

崔赛华回答:
  ∵[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000,   ∴a,b,c都是形如:2m•5n的数,   设a=2m1•5n1,b=2m2•5n2,c=2m3•5n3,   ∵[a,b]=1000=23•53,[b,c]=2000=24•53,[c,a]=2000=24•53,   ∴max(m1,m2)=3,max(n1,n2)=3,   ∴m3=4;m1,m2中必有一个是3;另一个可以是0、1、2或3之任意一种;   ∴m1,m2的取法有7种;   同理:max(m2,m3)=4,max(n2,n3)=3,max(m1,m3)=4,max(n1,n3)=3,   ∴n1,n2,n3中必有两个是3;另一个可以是0、1、2或3;   ∴n1,n2,n3的取法有10种;   ∴mi,ni(i=1,2,3)不同取法共有:7×10=70(种),   即三元正整数有序组(a,b,c)的个数为70.
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