问题标题:
如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,D、E分别是BC、AC上任意一点,(1)求证:AD2+BE2=AB2+DE2;(2)若BC、AC、AB三边长分别为a、b、c,且a、b、c均为整数,求证:a、b中必有一个是3的倍数.
问题描述:
如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,D、E分别是BC、AC上任意一点,
(1)求证:AD2+BE2=AB2+DE2;
(2)若BC、AC、AB三边长分别为a、b、c,且a、b、c均为整数,求证:a、b中必有一个是3的倍数.
卢三元回答:
证明:(1)∵∠C=90°,由勾股定理可得:
AD2=AC2+CD2,BE2=CE2+BC2,
又∵CD2+CE2=DE2,AC2+BC2=AB2,
∴AD2+BE2=AC2+BC2+CD2+CE2=AB2+DE2;
(2)根据题意有:a2+b2=c2,其中a、b、c均为整数.
①若a、b、c都不是3的倍数,则它们可表示为3n+1或3n-1的形式(n为正整数),
∵(3n±1)2=9n2±6n+1,
∴a2+b2≡2(mod3),c2≡1(mod3).
故a2+b2≠c2.矛盾.
因此,a、b、c中至少有一个是3的倍数
②若c是3的倍数,且a、b都不是3的倍数,
则a2+b2≡2(mod3),c2≡0(mod3).
故a2+b2≠c2,矛盾.
故c不是3的倍数.
∴a、b中至多有一个是3的倍数.
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