问题标题:
设f(x)是区间(a,b)上的连续函数,a<x1<x2<x3<b,证明:至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ)=1/3[f(x1)+f(x2)+f(x3)]
问题描述:
设f(x)是区间(a,b)上的连续函数,a<x1<x2<x3<b,证明:至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ)=1/3[f(x1)+f(x2)+f(x3)]
姬光荣回答:
∵f(x)是区间(a,b)上的连续函数
∴f(x)在区间(a,b)上必有最大值Fmax,也必有最小值Fmin
同时,对于任一实数r,若有Fmin≤r≤Fmax,则:
直线y=r与曲线y=f(x)必有至少1个交点,即:
至少有一ξ∈(a,b),使得f(ξ)=r
现考察1/3×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≤1/3×(Fmax+Fmax+Fmax)=Fmax;
同理:1/3×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≥Fmin
令r=1/3×[f(x1)+f(x2)+f(x3)],即得所求结论.
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