第一次数学危机毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示.希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生.小小√2的出现,却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上,这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击.对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量,在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰,就是在今天,测量技术已经高度发展时,这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了.更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法.这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”.第二次数学危机导源于微积分工具的使用.伴随着人们科学理论与实践认识的提高,十七世纪几乎在同一时期,微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现.这一工具一问世,就显示出它的非凡威力.许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌.但是不管是牛顿,还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的.两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的.因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击.其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱.第三次数学危机十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉.数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为现代数学的基石.“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉.1900年,国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦……今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了……”