方法一：如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点． 　　依题意得A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,-2,5)A1(22,22,0),B1(0,22,0),C1(2,2,5) 　　易得AC→=(-2,-2,5),A1B1→=(-22,0,0), 　　于是cos〈AC→,A&1B1→＞=AC→•A1B1→|AC→|•|A1B1→|=43×22=23, 　　所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为23． 　　（II）易知AA1→=(0,22,0),A1C1→=(-2,-2,5)． 　　设平面AA1C1的法向量m→=（x,y,z）, 　　则{m→•A1C1→=0m→•AA1→=0即{-2x-2y+5z=022y=0. 　　不妨令x=5,可得m→=(5,0,2), 　　同样地,设平面A1B1C1的法向量n→=（x,y,z）, 　　则{n→•A1C1→=0n→•A1B1→=0即{-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令y=5, 　　可得n=(0,5,2)． 　　于是cos＜m→,n→＞=m→•n→|m→||n→|=27•7=27, 　　从而sin＜m→,n→＞=357． 　　所以二面角A-A1C1-B的正弦值为357． 　　（III）由N为棱B1C1的中点, 　　得N(22,322,52)．设M（a,b,0）, 　　则MN→=(22-a,322-b,52) 　　由MN⊥平面A1B1C1,得{MN→•A1B1→=0MN→•A1B1→=0 　　即{(22-a)•(-22)=0(22-a)•(-2)+(322-b)•(-2)+52•5=0. 　　解得{a=22b=24.故M(22,24,0)． 　　因此BM→=(22,24,0),所以线段BM的长为|BM→|=104． 　　方法二： 　　由于AC∥A1C1,故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角． 　　因为C1H⊥平面AA1B1B,又H为正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H=5, 　　可得A1C1=B1C1=3． 　　因此cos∠C1A1B1=A1C12+A1B12-B1C122A1C1•A1B1=23． 　　所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为23． 　　（II）连接AC1,易知AC1=B1C1, 　　又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1, 　　所以△AC1A1≌△B1C1A,过点A作AR⊥A1C1于点R, 　　连接B1R,于是B1R⊥A1C1,故∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角． 　　在Rt△A1RB1中,B1R=A1B1•sin∠RA1B1=22•1-(23)2=2143． 　　连接AB1,在△ARB1中,AB1=4,AR=B1R,cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB122AR•B1R=-27, 　　从而sin∠ARB1=357． 　　所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为357． 　　（III）因为MN⊥平面A1B1C1,所以MN⊥A1B1． 　　取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点, 　　所以ND∥C1H且ND=12C1H=52． 　　又C1H⊥平面AA1B1B, 　　所以ND⊥平面AA1B1B,故ND⊥A1B1． 　　又MN∩ND=N, 　　所以A1B1⊥平面MND,连接MD并延长交A1B1于点E, 　　则ME⊥A1B1,故ME∥AA1． 　　由DEAA1=B1EB1A1=B1DB1A=14, 　　得DE=B1E=22,延长EM交AB于点F, 　　可得BF=B1E=22．连接NE． 　　在Rt△ENM中,ND⊥ME,故ND2=DE•DM． 　　所以DM=ND2DE=524． 　　可得FM=24． 　　连接BM,在Rt△BFM中,BM=FM2+BF2=104．