问题标题:
初中数学二次函数的难题?有图的。。。。O(∩_∩)O谢谢
问题描述:
初中数学二次函数的难题?
有图的。。。。O(∩_∩)O谢谢
刘建书回答:
希望采纳
【31.2012娄底】
24.已知二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,与y轴交于点C,且满足.(1)求这个二次函数的解析式;
(2)探究:在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.
(1)∵二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,
令y=0,即x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0①,则有:
x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣2m.∴===,
化简得到:m2+m﹣2=0,解得m1=﹣2,m2=1.
当m=﹣2时,方程①为:x2﹣2x+4=0,其判别式△=b2﹣4ac=﹣12<0,此时抛物线与x轴没有交点,不符合题意,舍去;
当m=1时,方程①为:x2+x﹣2=0,其判别式△=b2﹣4ac=9>0,此时抛物线与x轴有两个不同的交点,符合题意.∴m=1,∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2.
(2)假设在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形.
如图所示,连接PA.PB.AC.BC,过点P作PD⊥x轴于D点.
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,
∴A(﹣2,0),B(1,0),C(0,2),∴OB=1,OC=2.
∵PACB为平行四边形,∴PA∥BC,PA=BC,∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB.
在Rt△PAD与Rt△CBO中,∵,∴Rt△PAD≌Rt△CBO,
∴PD=OC=2,即yP=2,∴直线解析式为y=x+3,∴xP=﹣1,∴P(﹣1,2).
所以在直线y=x+3上存在一点P,使四边形PACB为平行四边形,P点坐标为(﹣1,2).
【32.2012福州】
22.(满分14分)如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;
(3)如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).
A
B
D
O
x
y
第22题图①
A
B
D
O
x
y
第22题图②
N
(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4).
∴,解得:.∴抛物线的解析式是y=x2-3x.
(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),
得:4=4k1,解得k1=1.∴直线OB的解析式为y=x.
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m.
∵点D在抛物线y=x2-3x上.
∴可设D(x,x2-3x).又点D在直线y=x-m上,
∴x2-3x=x-m,即x2-4x+m=0.
∵抛物线与直线只有一个公共点,∴△=16-4m=0,解得:m=4.
此时x1=x2=2,y=x2-3x=-2,∴D点坐标为(2,-2).
(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3).
设直线A'B的解析式为y=k2x+3,过点B(4,4),
∴4k2+3=4,解得:k2=.∴直线A'B的解析式是y=x+3.
∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A'B上,
D
A
B
O
x
y
N
图1
A'
P1
N1
P2
B1
∴设点N(n,n+3),又点N在抛物线y=x2-3x上,
∴n+3=n2-3n,
解得:n1=-,n2=4(不合题意,会去),∴点N的坐标为(-,).
方法一:如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,
则N1(-,-),B1(4,-4),∴O、D、B1都在直线y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB,
∴△P1OD∽△N1OB1,∴==,∴点P1的坐标为(-,-).
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,).
图2
A'
N2
P1
P2
B2
A
B
D
O
x
y
N
综上所述,点P的坐标是(-,-)或(,).
方法二:如图2,将△NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2,
则N2(,),B2(4,-4),
∴O、D、B2都在直线y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N2OB2,
∴==,∴点P1的坐标为(,).
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(-,-).
综上所述,点P的坐标是(-,-)或(,).
【33.2012南昌】
27.如图,已知二次函数L1:y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出E
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