证明： 　　记f(x)=ln(1+x)-x/(2+x),x>0 　　f'(x)=[(x+1)²+1]/[(x+1)(2+x)²]>0,f(x)↑ 　　又f(x)可在x=0处连续则 　　f(x)>f(0)=0 　　即ln(1+x)>x/(2+x) 　　取1/n(>0)替换x有 　　ln[(n+1)/n]>1/(2n+1) 　　将此不等式中的n依次从1取到n累加有 　　ln(2/1)+ln(3/2)+...+ln[(n+1)/n]>1/3+1/5+...+1/(2n+1) 　　即ln(n+1)>1/3+1/5+...+1/(2n+1) 　　得证.