问题标题：
tan²(1°)+tan²(2°)+tan²(3°)+...+tan²(89°)=?初等点的方法,不要凑韦达定理
问题描述：
tan²(1°)+tan²(2°)+tan²(3°)+...+tan²(89°)=?
初等点的方法,不要凑韦达定理
潘瑞芳回答：
cosnx+isinnx=(cosx+isinx)^n=(cosx)^n+C(n,1)(cosx)^{n-1}(isinx)+...+(isinx)^n
比较虚部得到
sinnx=C(n,1)(cosx)^{n-1}(sinx)-C(n,3)(cosx)^{n-3}(sinx)^3+...
取n=2m=180,x=1°,2°,...,89°代入,左边总是零,两边同除以cosx(sinx)^{n-1},并令t=(cotx)^2得到
C(2m,1)t^{m-1}-C(2m,3)t^{m-3}+...=0
也就是说tan²1°,tan²2°,...,tan²89°恰好是上述关于t的89次多项式的根,利用Vieta定理就得到其和为C(180,3)/C(180,1)=15931/3
点击显示
数学推荐
热门数学推荐