伯努利不等式:(我编过一条百科) 　　如果用数学归纳法(n是不小于2的整数) 　　设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx. 　　证明: 　　用数学归纳法: 　　当n=1,上个式子成立, 　　设对n-1,有: 　　(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立, 　　则 　　(1+x)^n 　　=(1+x)^(n-1)(1+x) 　　>=[1+(n-1)x](1+x) 　　=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2 　　>=1+nx 　　就是对一切的自然数,当 　　x>=-1,有 　　(1+x)^n>=1+nx 　　但n可以推广到实数幂形式: 　　(证明如下) 　　这道题主要是利用求导判断单调性. 　　令函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx) 　　先求导得f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r=r*[(1+x)^(r-1)-1] 　　讨论: 　　(1)当r>1时,(1+x)^(r-1)>1,则f'(x)>0 　　因此f(x)在R上是单调递增. 　　由于x>=-1且x不等于0,而且f(-1)=r-1>0 　　所以r>1,x>=-1且x不等于0,有f(x)>0 　　即有(1+x)^r>1+rx成立! 　　(2)当r0 　　因此f(x)在(0,正无穷大)上是单调递增. 　　这样在r=-1且x不等于0时,f(x)最小值为f(0)=0 　　因此在r=-1且x不等于0时,f(x)>0, 　　即(1+x)^r>1+rx成立. 　　综上所述:(1+x)^r>1+rx对于所有的r>1或r=-1且x不等于0成立.