字典翻译 问答 小学 数学 【在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=根号3,BC=1,PA=2,E为PD的中点,(1)求直线AC与PB所成角的余弦值(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出点N到AB和AP的距离】
问题标题:
【在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=根号3,BC=1,PA=2,E为PD的中点,(1)求直线AC与PB所成角的余弦值(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出点N到AB和AP的距离】
问题描述:

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=根号3,BC=1,PA=2,E为PD的中点,(1)求直线AC与PB所成角的余弦值(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出点N到AB和AP的距离

冯波回答:
  1、分别作CB、DA的延长线BF、AG,使得BF=BC,GA=AD   连接PG,GB得   ∵△PAB,△PAG,△PGB均为Rt△   PB=√(PA²+AB²)=√7   PG=√(PA²+AG²)=√5   GB=√(AG²+AB²)=2   由上三条边长度知道△PGB为Rt△   ∠PGB=90°   直线AC与PB所成角的余弦值cosa=GB/PB=2/√7=2√7/7   2、找出PA中点M,PB中点G,   EM和MG是△PAD和△PAB的中位线,   ME//AD.MG//AB,   ∴平面EMG//平面ABCD,   E在底面投影是AD中点H,从H作HF⊥AC,交AB于F,F点就是所求N点在AB的投影,AF就是N至AP的距离,AH=1/2,AF=HA/√3=√3/6,即N至PA距离为√3/6,   所求N点在平面EMG上,   N至平面ABCD的距离为AP/2=1,也就是至AB距离为1,   ∴所求N点距AB为1,距AP为√6/3.
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