字典翻译 问答 小学 数学 设定义域为R的函数f(x)=|lg|x-1||(x不等于1),0(x=1),则关于的方程f(x)^2+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是()A.b0B.b>0且c
问题标题:
设定义域为R的函数f(x)=|lg|x-1||(x不等于1),0(x=1),则关于的方程f(x)^2+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是()A.b0B.b>0且c
问题描述:

设定义域为R的函数f(x)=|lg|x-1||(x不等于1),0(x=1),则关于的方程f(x)^2+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是()

A.b0B.b>0且c

毕军平回答:
  C:b<0且c=0   等价于关于f(x)的方程[f(x)]^2+bf(x)+c=0有2个解,   f(x)=0或f(x)=k>0   f(x)=0时有三个解:x=1   |lg|x-1||=0,lg|x-1|=0,x-1=±1,x=2或0   f(x)=k>0时有四个解   |lg|x-1||=k,lg|x-1|=±k,|x-1|=10^(±k),x-1=±10^(±k),   x=1±10^(±k)   逆过来,如果关于f(x)的方程有两个不等正实根,   则关于x的方程有8个实根,与题意不合.   如果关于f(x)的方程有一个正实根,一个负实根,   则关于x的方程只有4个实根,与题意不合.   如果关于f(x)的方程有一个负实根,一个零根,   则关于x的方程只有三个实根,与题意不合   如果关于f(x)的方程有两个负实根,   则关于x的方程没有实根,与题意不合.   所以关于f(x)的方程必有一个零根与一个正实根,   b>0且c=0   所以关于x的方程[f(x)]^2+bf(x)+c=0有7个不同的实数解的充分必要条件是b<0且c=0.   因为y^2+by+c=0最多两根   如果只有一根,显然f2(x)+bf(x)+c=0最多只有3根   所以y^2+by+c=0必然有两不等根!   因为0≤y=f(x)   如果y^2+by+c=0是两不等正根,则必然f2(x)+bf(x)+c=0有8个不同的实数解   而y=f(x)=0有3根x=1,x=2,x=0   所以必有一根为y=0,c=0(没有的话不可能有7根)   另外一根y=-b>0,-b=lg(x-1),-b=lg(1-x),-b=-lg(x-1),-b=-lg(1-x)   这样可以解出四根,一共7根!所以当b<0且c=0,关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解
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