调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下： 　　由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n) 　　=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] 　　=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1) 　　由于 　　limSn（n→∞）≥limln(n+1)（n→∞）=+∞ 　　所以Sn的极限不存在,调和级数发散. 　　但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为 　　Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n) 　　=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n) 　　由于 　　limSn（n→∞）≥limln(1+1/n)（n→∞）=0 　　因此Sn有下界 　　而 　　Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)] 　　=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0 　　所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此 　　S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在. 　　于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数. 　　于是我们得到Sn的公式是：Sn=lnn+γ 　　在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.