（1）当n=1时,显然不等式成立. 　　（2）假设当n=k∈N*时,不等式成立即1+1/根号2+1/根号3+……+1/根号＜2根号n,则当n=k+1时有：1+1/根号2+……+1/根号n+1/根号（n+1）＜2根号n+1/根号（n+1） 　　将2根号n+1/根号（n+1）通分然后乘以根号（n+1）然后减1并平方得：4n^2+4n 　　将2根号（n+1）乘以根号（n+1）然后减1并平方得4n^2+4n+1 　　则2根号n+1/根号（n+1）＜2根号（n+1） 　　即1+1/根号2+……+1/根号n+1/根号（n+1）＜2根号n+1/根号（n+1）＜2根号（n+1）则不等式也成立. 　　由（1）（2）得对任意n∈N*都有1+1/根号2+1/根号3+……+1/根号n