问题标题：
【为什么二重积分的被积函数为常数时，代表的是积分区域的面积？如题，怎么去理解好记？z=f(x,y)为一常数。。我想了想，是因为面积乘以1还是面积，如果是乘以z就是代表体积，Z就是高，】
问题描述：
为什么二重积分的被积函数为常数时，代表的是积分区域的面积？
如题，怎么去理解好记？z=f(x,y)为一常数。。
我想了想，是因为面积乘以1还是面积，如果是乘以z就是代表体积，Z就是高，把它分成n个小立方体，最好求极限相加，（从每个微元素来看），是这个意思吗？
江伟回答：
你质疑得很对，分析得也很有道理。
整体来说：
“二重积分的被积函数为常数时，代表的是积分区域的面积”
这句话是不对的！是不懂科学的数学老师才会信口而出的，
真正的科学教师，绝不会说出这么糊里糊涂、无厘头的话。
下面，我概括说一下：
1、因为是常数，既然是常数，就可以提取到积分符号外面；
2、一旦提取到积分符号外，那积分符号下的dxdy就是一个微元面积，
整个区域的积分就是总面积。
3、由于积分符号外有一个常数，当初积分符号下的常数，可能是没有单位的
单纯的数学常数，这个常数乘以dxdy，其意义就是面积的倍数；
4、如果这个常数是物理学、化学、天文学、地质学、、、等等的科学常数，
那积出后的面积再乘以常数，就不再是面积，而可能是有各种不同的含义：
例如1：体积。此时的常数就是物体的高度。这一点，楼主已经做出合理判断。
例如2：质量。此时的常数就是质量面密度；
例如3：电量。此时的常数就是电荷面密度；
例如4：能量。此时的常数就是能量面密度；
例如5：通量。此时的常数就是通量密度，如电场强度、磁感应强度、引力强度等等。
类似的例子举不胜举，如果你的老师说是面积，那只能说明他没有科学底子，不懂科学。
没有必要跟他们斤斤计较，这样的糊里糊涂的数学教师汗牛充栋，你我回天无力。
至于z=f(x,y)=Constant常数，那更好理
1、假如x、y不是真正的坐标，而是抽象的变量，那z=Constant可能是：
等温过程、等压过程、等容过程、、、、
2、假如x、y是真正的坐标，也容易理解，这个z=Constant。
在数学上，这就是一个identity，就是一个恒等式。
例如sin²x+cos²x=1，这个恒等式跟x的取值无关；
又如arcsin(x+y)+arccos(x+y)=½π，这个恒等式跟x、y的取值无关可能是指：
在物理上，这就是一个conservation，是一个守恒定律。
例如：我们不考虑势能时，我们有动能定理。
同样我们不考虑动能时，我们也可以全用势能表示，当然是在保守系中才行。
如有不明白，还有追问。
樊其瑾回答：
不对吧，被积为1时才是面积吧。
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面积的定义是什么？考虑过这个问题吗？
郭明强回答：
因为X是变量,Y也是变量,在坐标系里面就是是个区域面积
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