数学美的表现形式是多种多样的,从数学内容看,有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看,有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看,有对称之美、和谐之美、奇异之美等. 　　（一）语言美 　　数学有着自身特有的语言———数学语言,其中包括： 　　1数的语言——符号语言 　　关于“∏”,《九章算术》如斯说：“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数,我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形,其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）.还有sin∂、∞等等,一个又一个数的语言,无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致. 　　2形的语言——视角语言 　　从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置?）；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合!）；鲜明性（“最大值”、“最小值”让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”,并深切地感悟到：有山有水的地方,为何总是人杰地灵的内在神韵……）和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现,保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等. 　　（二）简洁美 　　爱因期坦说过：“美,本质上终究是简单性.”他还认为,只有借助数学,才能达到简单性的美学准则.朴素,简单,是其外在形式.只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美. 　　欧拉给出的公式：V－E＋F＝2,堪称“简单美”的典范.世间的多面体有多少?没有人能说清楚.但它们的顶点数V、棱数E、面数F,都必须服从欧拉给出的公式,一个如此简单的公式,概括了无数种多面体的共同特性,能不令人惊叹不已?! 　　在数学中,像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多.比如：圆的周长公式：C=2πR 　　勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方+=. 　　正弦定理：ΔABC的外接圆半径R,则 　　数学的这种简洁美,用几个定理是不足以说清的,数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁.正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”. 　　庞加莱指出：“在解中,在证明中,给我们以美感的东西是什么呢?是各部分的和谐,是它们的对称,是它们的巧妙、平衡”. 　　（四）、和谐美 　　美是和谐的．和谐性也是数学美的特征之一．和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性． 　　没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性. 　　——Carus,Paul 　　数论大师赛尔伯格曾经说,他喜欢数学的一个动机是以下的公式：,这个公式实在美极了,奇数1、3、5、…这样的组合可以给出,对于一个数学家来说,此公式正如一幅美丽图画或风景. 　　欧拉公式：,曾获得“最美的数学定理”称号.欧拉建立了在他那个时代,数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系,包容得如此协调、有序.与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是――（1）.这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了.对他们的结合,人们始则惊诧,继而赞叹――确是“天作之合”. 　　和谐的美,在数学中多得不可胜数.如著名的黄金分割比,即0.61803398…. 　　在正五边形中,边长与对角线长的比是黄金分割比.建筑物的窗口,宽与高度的比一般为；人们的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点,人的肘关节是手臂的黄金分割点,肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为23摄氏度时,人感到最舒服,此时23:37（体温）约为0.618；名画的主题,大都画在画面的0.618处,弦乐器的声码放在琴弦的0.618处,会使声音更甜美.建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格,音乐作品的优美节奏,交融于数的对称美与和谐美之中. 　　黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用.达·芬奇称黄金分割比为“神圣比例”．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”.与有关的问题还有许多,“黄金分割”、“神圣比例”的美称,她受之无愧. 　　（四）奇异美 　　全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”,其中有一道相当简单的问题：有哪些分数,不合理地把b约去得到,结果却是对的? 　　经过一种简单计算,可以找到四个分数：.这个问题涉及到“运算谬误,结果正确”的歪打正着,在给人惊喜之余,不也展现一种奇异美吗. 　　还有一些“歪打正着等式”,比如 　　人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同,它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线,这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹, 　　当e＜1时,形成的是椭圆．当e＞1时,形成的是双曲线．当e＝1时,形成的是抛物线． 　　常数e由0.999变为1、变为0.001,相差很小,形成的却是形状、性质完全不同的曲线.而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线. 　　椭圆与正弦曲线会有什么联系吗?做一个实验,把厚纸卷几次,做成一个圆筒.斜割这一圆筒成两部分.如果不拆开圆筒,那么截面将是椭圆,如果拆开圆筒,切口形成的即是正弦曲线.这其中的玄妙是不是很奇异、很美. 　　（五）对称美 　　在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”.毕达哥拉斯学派认为,一切空间图形中,最美的是球形；一切平面图形中,最美的是圆形.圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心,圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴. 　　梯形的面积公式：S＝, 　　等差数列的前n项和公式：, 　　其中a是上底边长,b是下底边长,其中a­1是首项,an是第n项,这两个等式中,a与a1是对称的,b与an是对称的.h与n是对称的. 　　对称美的形式很多,对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的,人们对于对称美的追求是自然的、朴素的.如我们喜爱的对数螺线、雪花,知道它的一部分,就可以知道它的全部.李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律.从中我们体会到了对称的美与成功. 　　（六）创新美 　　欧几里得几何曾经是完美的经典几何学,其中的公理5：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角”,这些似乎是天经地义的绝对真理.但罗马切夫斯基却采用了不同公理5的结论：“过直线外一点至