这个题目是要求出一个正数,使之用3除余2,用5除余3,用7除余4,而且希望所求出的数尽可能地小. 　　如果一位同学从来没有接触过这类问题,也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案. 　　例如我们从用3除余2这个条件开始.满足这个条件的数是3n+2,其中n是非负整数. 　　要使3n+2还能满足用5除余3的条件,可以把n分别用1,2,3,…代入来试.当n=1时,3n+2=5,5除以5不用余3,不合题意；当n=2时,3n+2=8,8除以5正好余3,可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件. 　　最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件.我们要在8的基础上得到一个数,使之同时满足三个条件. 　　为此,我们想到,可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和.因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2,除以5仍然余3.于是我们让新数为8+15m,分别把m=1,2,…代进去试验.当试到m=3时,得到8+15m=53,53除以7恰好余4,因而53合乎题目要求. 　　我国古代学者早就研究过这个问题.例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法： 　　三人同行七十稀, 　　五树梅花甘一枝, 　　七子团圆正半月, 　　除百零五便得知. 　　"正半月"暗指15."除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就105、105地往下减,使之小于105；这相当于用105去除,求出余数. 　　这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加.加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解. 　　按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得： 　　70×2+21×3+15×4=263, 　　263=2×105+53, 　　所以,这队士兵至少有53人. 　　在这种方法里,我们看到：70、21、15这三个数很重要,稍加研究,可以发现它们的特点是： 　　70是5与7的倍数,而用3除余1； 　　21是3与7的倍数,而用5除余1； 　　15是3与5的倍数,而用7除余1. 　　因而 　　70×2是5与7的倍数,用3除余2； 　　21×3是3与7的倍数,用5除余3； 　　15×4是3与5的倍数,用7除余4. 　　如果一个数除以a余数为b,那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a,余数仍然是b.所以,把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求.一般地, 　　70m+21n+15k(1≤m＜3,1≤n＜5,1≤k＜7)