这是我整理的一些内容,希望对你有所帮助： 　　【一些结论】：以下皆是向量 　　1若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0 　　2若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积） 　　3若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边） 　　4若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|² 　　（AP就表示AP向量|AP|就是它的模） 　　5AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)则直线AP经过△ABC内心 　　6AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)经过垂心 　　7AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞） 　　或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)经过重心 　　8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点 　　【以下是一些结论的有关证明】 　　1. 　　O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量 　　充分性： 　　已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量, 　　延长CO交AB于D,根据向量加法得： 　　OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得： 　　a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0, 　　因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC, 　　上式可化为(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量, 　　向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线, 　　所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量, 　　由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a, 　　所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线. 　　必要性： 　　已知O是三角形内心, 　　设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F, 　　∵O是内心 　　∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE 　　过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M, 　　所以四边形OMAN是平行四边形 　　根据平行四边形法则,得 　　向量OA 　　=向量OM+向量ON 　　=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO 　　=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO 　　=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO 　　∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0 　　2. 　　已知△ABC为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)}, 　　求P点轨迹过三角形的垂心 　　OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)}, 　　OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)}, 　　AP=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)}, 　　AP•BC=入{(AB•BC/|AB|＾2*sin2B)+AC•BC/(|AC|＾2*sin2C)}, 　　AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B)/(|AB|＾2*sin2B)+|AC|•|BC|cosC/(|AC|＾2*sin2C)}, 　　AP•BC=入{-|AB|•|BC|cosB/(|AB|＾2*2sinBcosB)+|AC|•|BC|cosC/(|AC|＾2*2sinCcosC)}, 　　AP•BC=入{-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)}, 　　根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC 　　∴-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)=0, 　　即AP•BC=0, 　　P点轨迹过三角形的垂心 　　3. 　　OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)) 　　OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)) 　　AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)) 　　AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线 　　根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB, 　　所以|AB|sinB=|AC|sinC, 　　所以AP与AB+AC共线 　　AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D, 　　∴点P过三角形重心. 　　4. 　　OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|) 　　OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|) 　　AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|) 　　AP•BC=λ(AB•BCcosC/|AB|+AC•BCcosB/|AC|) 　　=λ([|AB|•|BC|cos(180°-B)cosC/|AB|+|AC|•|BC|cosCcosB/|AC|] 　　=λ[-|BC|cosBcosC+|BC|cosCcosB] 　　=0, 　　所以向量AP与向量BC垂直, 　　P点的轨迹过垂心. 　　5. 　　OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) 　　OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) 　　OP-OA=λ(AB/|AB|+AC/|AC|) 　　AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)