设f(x)=e^x,g(x)=x+1-c 　　则方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根 　　等价于f(x)与g(x)图像在[-1,4]有两个不同交点. 　　由于f(x)是一条递增的上凹曲线,g(x)是一条斜率为1纵截距为1-c的直线 　　故只需找到两条曲线相切的位置, 　　和直线经过区间[-1,4]端点时是否为相交,即可解决问题. 　　①f'(x)=e^x,直线的斜率为1. 　　令f'(x)=1,则x=0 　　即斜率为1的切线与f'(x)相切的切点坐标为（1,e） 　　此时切线方程为y-e=x-1即y=x+e-1 　　因此,当1-c＞e-1即c＜2-e时,函数f(x)与g(x)图像有两个不同交点. 　　②直线g(x)=x+1-c过点（-1,1/e）时, 　　显然c=-1/e, 　　g(x)=x+1+1/e, 　　g(4)=5+1/e＜6＜53＜e^4=f(4) 　　因此方程方程e^x-x-1+c=0的另一根必在[-1,4]上. 　　③直线g(x)=x+1-c过点（4,e^4）时, 　　显然c=5-e^4 　　g(x)=x+6-e^4 　　g(-1)=5-e^4＜0＜1/e=f(-1) 　　因此方程方程e^x-x-1+c=0的另一根必在[-1,4]之左侧. 　　总之,当-1/e＜c＜2-e时方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根.

　　-1/e＜c＜2-e这个怎么可能。

　　不好意思，打字出现了错误。正设f(x)=e^x，g(x)=x+1-c则方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根等价于f(x)与g(x)图像在[-1,4]有两个不同交点。由于f(x)是一条递增的上凹曲线，g(x)是一条斜率为1纵截距为1-c的直线故只需找到两条曲线相切的位置，和直线经过区间[-1,4]端点时是否为相交，即可解决问题。①f'(x)=e^x，直线的斜率为1.令f'(x)=1，则x=0即斜率为1的切线与f(x)相切的切点坐标为（0，1）此时切线方程为y-1=x即y=x+1因此，当1-c＞1即c＜0时，函数f(x)与g(x)图像有两个不同交点。②直线g(x)=x+1-c过点（-1，1/e）时，显然c=-1/e，g(x)=x+1+1/e，g(4)=5+1/e＜6＜53＜e^4=f(4)因此方程方程e^x-x-1+c=0的另一根必在[-1,4]上.③直线g(x)=x+1-c过点（4，e^4）时，显然c=5-e^4g(x)=x-4+e^4g(-1)=-5+e^4＞48＞1＞1/e=f(-1)因此方程方程e^x-x-1+c=0的另一根必在[-1,4]之左侧.总之，当-1/e＜c＜0时方程e^x-x-1+c=0在[-1,4]上有两个不同实根.