字典翻译 问答 其它 IMO2011趣题:总存在一条将会遍历所有点的直线设S是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条直线上。所谓一个“风车”是指这样一个过程:从经过S中单独一点P的
问题标题:
IMO2011趣题:总存在一条将会遍历所有点的直线设S是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条直线上。所谓一个“风车”是指这样一个过程:从经过S中单独一点P的
问题描述:

IMO2011趣题:总存在一条将会遍历所有点的直线

设S是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条直线上。所谓一个“风车”是指这样一个过程:从经过S中单独一点P的一条直线l开始,以P为旋转中心顺时针旋转,直至首次遇到S中的另一点,记为点Q。接着这条直线以Q为新的旋转中心顺时针旋转,直到再次遇到S中的某一点,这样的过程无限持续下去。

证明:可以适当选取S中的一点P,以及过P的一条直线l,使得由此产生的“风车”将S中的每一点都无限多次用作旋转中心。

邵萍回答:
  神题就该有神解,这道题有一个异常简单巧妙的证明方法。找一条直线,这条直线两侧的点数一样多(最多相差一个)。下面我们证明,这条线就满足要求。容易看出,在直线的旋转过程中,直线两侧的点数之差始终不变。因此,这条直线转了180度后,直线一定回到了初始的位置(或者它旁边一个点的位置)。但此时,原来在直线左侧的点现在全部跑到了直线右侧,原来在直线右侧的点现在全部跑到了直线左侧。这些点当然是不能瞬移到直线另一侧的,要想跑到直线的另一侧,必须要先穿过直线才行。由此可见,所有点都被直线碰到过了。
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