问题标题:
已知椭圆C的两个焦点是)和,并且经过点,抛物线的顶点E在坐标原点,焦点恰好是椭圆C的右顶点F.(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程;(2)过点F作两条斜率都存在且互
问题描述:
已知椭圆C的两个焦点是)和,并且经过点,抛物线的顶点E在坐标原点,焦点恰好是椭圆C的右顶点F. |
石成儒回答:
(1)椭圆C的标准方程为,抛物线E的标准方程为.(2)有最小值为16.
试题分析:(1)由于椭圆上任意一点到焦点的距离都等于,所以,
,由此即得椭圆的标准方程.椭圆右顶点F的坐标为(1,0),所以抛物线E的标准方程为.(2)设,,,,则
.再设l1的方程:,l2的方程,用韦达定理将上式表示为即可求得其最小值.
试题解析:(1)设椭圆的标准方程为(a>b>0),焦距为2c,
则由题意得c=,,
∴,
∴椭圆C的标准方程为. 4分
∴右顶点F的坐标为(1,0).
设抛物线E的标准方程为,∴,
∴抛物线E的标准方程为. 6分
(2)设l1的方程:,l2的方程,
,,,,
由消去y得:,
∴.
由消去y得:,
∴ 9分
∴
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