积分上限的函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续,因此此定积分存在.如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数,记作φ(x):注意：为了明确起见,我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关）定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分上限的函数在[a,b]上具有导数,并且它的导数是（a≤x≤b)(2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的,又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.牛顿--莱布尼兹公式定理(3)：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则注意：此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式,它进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系.它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量.因此它就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法.例题：求我们由牛顿-莱布尼兹公式得：注意：通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式