有界集定义 　　定义一：设S为R的一个数集.若存在数M（L）,使得对一切x∈S,都有x≤M（x≥L）,则称S为有上界（下界）的数集,数M（L）称为S的一个上界（下界）. 　　若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集,则称S为无界集.例题：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界. 　　证：显然,任何一个不大于零1的实数都是N+的下界,故N+为有下界的数集. 　　现在要证N无上界,按照定义,只需证明：对于无论多么大的数M,总存在某个正整数n0（∈N+）,使得n0>M.事实上,对于任何一个正数M（不论这个数是多么的大）,总存在一个数N=[M]+1([X]表示不超过X的最大整数),使得N>M.这就证明了N+无上界. 　　确界的定义 　　文字描述：若数集S有上界,显然S有无穷多个上界（因为任何大于有界集S最大的数都是S的上界）,其中最小的一个我们将它称为S的上确界（用supS表示）.同样的有,有下界数集S的最大下界称为该数集的下确界（用infS表示）.（sup为拉丁文supermun的简写,inf为拉丁文infimun的简写）. 　　上确界定义：设S是R中的一个数集,若数η满足 　　（i）对一切x∈S,有η≥S,即η是S的上界； 　　（ii）对任何的aa,即η是S的最小上界,则称η为数集s的上确界； 　　下确界定义：设S是R的一个数集,若数ξ满足： 　　（i）对一切x∈S,有ξ≤x,即ξ是S的下界； 　　（i）对任何的β>ξ,存在x0∈S,使得x0