问题标题：
如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2AD=2DC=2PA=4,∠PAB=∠PAD=120°,∠PAB=90°,点M,F分别是线段PC的中点,点N在线段AB上,且AB=4AN.（1）求证MN∥平面PAD；（2）求证：DC⊥平面PAF（3）求直线MN与平面PCD所成角的正
问题描述：
如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2AD=2DC=2PA=4,∠PAB=∠PAD=120°,∠PAB=90°,点M,F分别是线段PC的中点,点N在线段AB上,且AB=4AN.
（1）求证MN∥平面PAD；
（2）求证：DC⊥平面PAF
（3）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值
只需答第三题
∠BAD=∠PAD=120°
点M,F分别是线段PC和DC的中点
刁平回答：
(1)取PD中点E,连接EM,AE,易证AN=1=EM,AN∥EM
∴四边形AEMN是平行四边形
∴MN∥AE
∵AE包含於面PAD,∴MN∥面PAD
(2)∵∠PAB=90°,AB∥CD,∴PA⊥CD
易证∠ADC=60°,AD=2,DF=1,馀弦定理得AF=√3
勾股逆定理得AF⊥CD
∴CD⊥面PAF
(3)由(2)得CD⊥PF於F
∵∠PAD=120°,PA=AD=2,∴PD=2√3,AE=1
勾股定理得PF=√11
设P到面ABCD距离为d,体积法得3V三棱锥PADF=d*S△ADF=DF*S△PAF
馀弦定理得cosAPF=3/√11,∴sinAPF=√2/√11
作AH⊥PF於H,则AH=AP*sinAPF=2√2/√11
∴S△PAF=1/2*PF*AH=√2
S△ADF=1/2*AF*DF=√3/2,∴d=DF*S△PAF/S△ADF=2√2/√3
S△ACD=1/2*CD*AF=√3,S△PCD=1/2*CD*PF=√11
作AG⊥面PCD於G,则AG是A到面PCD的距离
体积法得3V三棱锥PACD=AG*S△PCD=d*S△ACD
解得AG=2√2/√11
连接EG,则∠AEG是AE和面PCD所成角
sinAEG=AG/AE=2√2/√11=2√22/11
∵MN∥AE,∴MN和面PCD所成角的正弦值为2√22/11
或者不用面积法的话你可以用三面角馀弦定理+三正弦定理求AE和面PCD所成角,结果一样的.
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