问题标题：
求教定积分问题:积分限是0到2,求I=∫x(√2x-x^2)dx是陈文灯的视频里面的一个练习题,他没写答案.自己弄不出来啊积分限是0到2,求I=∫x(√2x-x^2)dx也许我打的有点问题,是I=∫(0,2)x√(2x-x^2)dx
问题描述：
求教定积分问题:积分限是0到2,求I=∫x(√2x-x^2)dx
是陈文灯的视频里面的一个练习题,他没写答案.自己弄不出来啊
积分限是0到2,求I=∫x(√2x-x^2)dx
也许我打的有点问题,是I=∫(0,2)x√(2x-x^2)dx
孙守为回答：
∫(0,2)x√(2x-x²)dx
=∫(0,2)x√[-(x²-2x+1)+1]dx
=∫(0,2)x√[1-(x-1)²]dx
令x-1=sinθ,dx=cosθdθ
x=0-->θ=-π/2
x=2-->θ=π/2
=∫(-π/2,π/2)(1+sinθ)|cosθ|*cosθdθ
=∫(-π/2,π/2)(1+sinθ)cos²θdθ
=∫(-π/2,π/2)cos²θdθ+∫(-π/2,π/2)sinθcos²θdθ
=2∫(0,π/2)(1+cos2θ)/2dθ+∫(-π/2,π/2)cos²θd(-cosθ)
=[θ+(1/2)sin2θ]|(0,π/2)-(1/3)[cos³θ]|(-π/2,π/2)
=π/2
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