问题标题:
【1,方阵AB(A为3*2,B为2*3)一定不可逆2,两个n阶初等矩阵的乘积一定为可逆矩阵,为什么3,A为三阶方阵1,方阵AB(A为3*2,B为2*3)一定不可逆2,两个n阶初等矩阵的乘积一定为可逆矩阵,为什么3,A为三阶】
问题描述:
1,方阵AB(A为3*2,B为2*3)一定不可逆2,两个n阶初等矩阵的乘积一定为可逆矩阵,为什么3,A为三阶方阵
1,方阵AB(A为3*2,B为2*3)一定不可逆
2,两个n阶初等矩阵的乘积一定为可逆矩阵,为什么
3,A为三阶方阵,则A不等于0,A的平方不等于0,|A|=0,为啥?
阮秋琦回答:
1.方阵AB的秩r(AB)≤min{r(A),r(B)}≤2,A为3*2,B为2*3,他们的秩最大为2,而三阶方阵可逆的充要条件是r(AB)=3,所以AB一定不可逆
2.初等矩阵为单位阵I(也有的版本是E,总之是单位阵啦)作1次初等变换得到的矩阵,设这两个n阶初等矩阵为E1,E2,则由初等矩阵的性质,必存在n阶可逆方阵P1,Q1;P2,Q2,使得E1=P1·I·Q1,E2=P2·I·Q2.(这个性质在书上应该查得到,在初等变换里面的).所以E1E2=P1·Q1·P2·Q2.P1,Q1,P2,Q2均为n阶可逆方阵,故E1E2为n阶可逆方阵.
3.第三个我没太明白题目的意思.
要是“A为三阶方阵,若A的平方不等于0,|A|=0,则A不等于0,”这个是正确的.三阶方阵A的秩r(A)≥r(A的平方)(秩的性质),A的平方不等于0,则r(A的平方)≥1,故r(A)≥1,所以A不等于0(零矩阵的充要条件是秩等于0)
要是“若A为三阶方阵,则A不等于0,A的平方不等于0,|A|=0”,显然A为三阶方阵是推不出来A不等于0,A的平方不等于0,|A|=0的,比如三阶单位阵.
要是“A为三阶方阵,若A不等于0,A的平方不等于0,则|A|=0”这个也不对,反例仍然可以是三阶单位阵.
要是“A为三阶方阵,若A的平方不等于0,则|A|=0,A不等于0,”这个也不对,反例仍然可以是三阶单位阵.
罗嗦了这么多,期末考试加油啊!
如果觉得不错顺便采纳为最佳答案吧:)
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