首先,这些级数都是收敛的. 　　前3个都是通项绝对值单调递减并趋于0的交错级数,适用Leibniz判别法. 　　第4个要用Dirichlet判别法:1/n单调递减趋于0,而(-1)^n·sin(n)部分和有界. 　　(积化和差证明:sin(m)+sin(m+2)+...+sin(m+2k)=(cos(m-1)-cos(m+2k+1))/(2sin(1))). 　　要判别是否绝对收敛,即考虑通项取绝对值后的级数敛散性. 　　1)2n/(4n²+1)与1/n是同阶无穷小(二者比值趋于1/2). 　　根据(正项级数)比较判别法,由∑1/n发散知∑2n/(4n²+1)也发散. 　　故∑(-1)^n·2n/(4n²+1)为条件收敛. 　　2)sin(π/n)与1/n是同阶无穷小(二者比值趋于π). 　　根据(正项级数)比较判别法,由∑1/n发散知∑sin(π/n)也发散. 　　故∑(-1)^n·sin(π/n)为条件收敛. 　　3)1/(4n²+1)与1/n²是同阶无穷小(二者比值趋于1/4). 　　根据(正项级数)比较判别法,由∑1/n²收敛知∑1/(4n²+1)也收敛. 　　故∑(-1)^(n+1)/(4n²+1)绝对收敛. 　　4)|sin(n)|/n≥sin²(n)/n=(1-cos(2n))/(2n). 　　由Dirichlet判别法可证明∑cos(2n)/(2n)收敛(cos(2n)部分和有界,细节略). 　　而∑1/(2n)发散,于是二者之差∑(1-cos(2n))/(2n)发散. 　　根据(正项级数)比较判别法,∑|sin(n)|/n也发散. 　　故∑(-1)^n·sin(n)/n为条件收敛.