球的方程是x²+y²+z²=R² 　　球体内接圆柱在第一象限内是一个半径为x,高度为z的四分之一圆柱,其体积为¼πx²z,球体内接圆柱的体积为其八倍,即V=2πx²z 　　令F(x,y,z)=2πx²z-λ(x²+y²+z²-R²), 　　F'x=4πxz-2λx=0 　　F'y=-2λy=0 　　F'z=2πx²-2λz=0 　　得x=√2λ/2π,y=0,z=λ/2π 　　代入x²+y²+z²=R²,得λ=2πR/√3 　　x=√(2/3)R,y=0,z=√3R/3 　　因此点（√(2/3)R,0,√3R/3）为唯一驻点,由题意可知此圆柱体有最大体积 　　Vmax=2πx²z=2π(2/3)R²√3R/3=4√3πR³/9 　　此体积最大的圆柱体的高是2z=2√3R/3 　　----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 　　椭圆方程是x²/a²+y²/b²=1,(x,y)是其内接矩形在第一象限内的一个顶点,其长宽分别为2x,2y,其面积S=4xy 　　令F(x,y)=4xy-λ(x²/a²+y²/b²-1), 　　F'x=4y-2λx/a²=0 　　F'y=4x-2λy/b²=0 　　得λ=2ab,bx=ay 　　代入x²/a²+y²/b²=1,得x=a/√2,y=b/√2 　　因此点(a/√2,b/√2)为唯一驻点,由题意可知此矩形有最大面积Smax=4xy=4a/√2*b/√2=2ab 　　此面积最大的矩形各边长度为√2a和√2b