在函数y=f(x)中,根据定义,一定至少存在一对(x,y)使方程f(x)-y=0成立,二次方程f(x)-y=0有实数解对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,求y的取值范围”把x当成未知量,y当成常量,化成一元二次方程,让这个方程有根．先看二次项系数是否为零,再看不为零时只需看判别式大于等于零了．此时直接用判别式法是否有可能出问题,关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形.这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0,求y的取值范围” 　　注意事项注意事项注意事项注意事项注意事项注意事项 　　用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法,但在用判别式法求值域时经常出错,因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题： 　　一、要注意判别式存在的前提条件,同时对区间端点是否符合要求要进行检验 　　例：求函数的值域. 　　原式变形为（＊） 　　∵,∴,解得. 　　故所求函数的值域是 　　错因：把代入方程（＊）显然无解,因此不在函数的值域内.事实上,时,方程（＊）的二次项系数为0,显然不能用“”来判定其根的存在情况. 　　原式变形为（＊） 　　（1）当时,方程（＊）无解； 　　（2）当时,∵,∴,解得. 　　综合（1）、（2）知此函数的值域为 　　二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化 　　例2：求函数的值域. 　　将函数式化为 　　（1）当时,代入上式得,∴,故属于值域； 　　（2）当时,, 　　综合（1）、（2）可得函数的值域为. 　　错因：解中函数式化为方程时产生了增根（与虽不在定义域内,但是方程的根）,因此最后应该去掉与时方程中相应的值.所以正确答案为,且. 　　三、注意变形后函数值域的变化 　　例3：求函数的值域. 　　由已知得①,两边平方得② 　　整理得,由,解得. 　　故函数得值域为. 　　错因：从①式变形为②式是不可逆的,扩大了的取值范围.由函数得定义域为易知,因此函数得最小值不可能为.∵时,∴,故函数的值域应为. 　　四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性 　　例4：求函数的值域. 　　令,则,∴,由及得值域为. 　　错因：解法中忽视了新变元满足条件.∴设, 　　.故函数得值域为. 　　综上所述,在用判别式法求函数得值域时,由于变形过程中易出现不可逆得步骤,从而改变了函数得定义域或值域.因此,用判别式求函数值域时,变形过程必须等价,必须考虑原函数得定义域,判别式存在的前提,并注意检验区间端点是否符合要求.