问题标题:
过椭圆x^2/5+y^2=1的右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的长
问题描述:
过椭圆x^2/5+y^2=1的右焦点与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的长
茹锦文回答:
令椭圆的左、右焦点分别是F1、F2.
由椭圆方程x^2/5+y^2=1,得:
椭圆以原点为中心,两坐标轴为对称轴,且a=√5、c=√(5-1)=2.
∵AB⊥x轴,∴A、B关于x轴对称,∴AF2=AB/2.
由椭圆的定义,有:AF1+AF2=2a=2√5,∴AF1=2√5-(AB/2),
∴AF1^2=20-2√5AB+AB^2/4.
由勾股定理,有:AF1^2=AF2^2+F1F2^2=(AB/2)^2+(2c)^2=AB^2/4+16,
∴20-2√5AB+AB^2/4=AB^2/4+16,∴2√5AB=20-16=4,∴AB=2/√5=2√5/5.
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